-
Pengenalan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Telah kita mengenal istilah yang memuat kata linear, seperti fungsi linear yang memiliki bentuk umum f(x) = ax + b. Sebagai contoh, f(x) = 2x, f(x) =x – 2, dan lain sebagainya. Jika domain dari fungsi linear itu adalah himpunan bilangan real, maka grafik fungsi linear itu berupa garis lurus. Pada fungsi linear himpunan nilai f(x) untuk setiap x anggota domain disebut range atau daerah jelajah. Disamping istilah fungsi linear, kemudian muncul istilah persamaan linear. Sebelumnya telah kita kenal persamaan linear satu variabel, misalnya x –3 = 10, 2t + 3 = 3t , dan lain sebagainya.
Persamaan linear satu peubah memiliki akar atau himpunan penyelesaian. Sebagai contoh, 13 merupakan akar dari persamaan x – 3 = 10 sebab jika x diganti oleh 13 persamaan tersebut menjadi kalimat yang benar (13 – 3 = 10). Akar dari 2t + 3 = 3t memiliki akar lengkapnya adalah 3 sebab jika t diganti oleh 3 menjadi kalimat yang benar (2.3 + 3 = 3.3). Setiap persamaan linear satu peubah hanya memiliki tepat satu akar.
Sebelumnya telah dipelajari persamaan garis (lurus), yang memiliki beberapa bentuk aljabar, seperti y = ax + b, atau ax + by + c = 0 atau ax + by = c, dengan koefisien x dan koefisien y tidak sekalisgus dua-duanya nol. Pada persamaan ax + by = c, a disebut koefisien x dan b disebut kofisien dari y, dan c disebut konstanta. Berikut ini contoh-contoh persamaan garis, y = 2x –1, 2x +3y – 6 =0, 3x – y = 1, dan y = 2, serta x = -4. Pada persamaan 3 x – y = 1, koefisien x adalah 3, koefisien y adalah –1 dan memiliki konstanta 1. Pada persamaan y = 2, koefisien x-nya adalah 0 koefisien y-nya 1 dan konstantanya 2, sedangkan pada persamaan x = -4, koefisien x-nya 1, koefisien y- nya 0 dan konstantanya –4.
Sebagaimana kita ketahui bahwa garis (lurus) terdiri dari himpunan titik-titik. Persamaan garis dengan variabel x dan y, jika digambarkan dalam koordinat kartesius berupa garis dimana titik- titik dengan koordinat (x,y) yang memenuhi persamaan garis tersebut terletak pada garis tersebut. Contoh, persamaan garis y = 2x –1 jika digambarkan pada koordinat kartesius akan melalui titik-titik (0,-1), (1, 1), (2,3), (3,5), dan seterusnya.
Sementara itu persamaan linear dua variabel, variabelnya tidak harus x dan y, bisa juga s dan t, m dan n atau yang lainnya, misalnya, 2s +5t = 10 dan 3m – 2n +6 = 0. Pada persamaan 2s + 5t = 10, 2 disebut koefisien s, 5 disebut koefisien t, dan 10 disebut konstanta. Demikian pula pada persamaan 3m –2n + 6 = 0, 3 disebut koefisien m, -2 disebut koefisien n dan 6 konstanta. Akar atau himpunan penyelesaian dari persamaan 2s + 5t = 10 adalah pasangan terurut yang (s,t) yang memenuhi persamaan tersebut, antara lain (0,2), (5,0), (-5,4), (10,-2), dan seterusnya. Jika digambarkan dalam bentuk koordinat dengan sumbu s dan t, maka persamaan 2s + 5t = 10 membentuk suatu garis lurus.
Sistem persamaan linear dua variabel, pada umumnya dibentuk oleh dua persamaan linear dua variabel, yang memiliki variabel yang sama. Contoh, 2x + y = 5 dan x + y = 3, juga 3s-t = 1 dan s + 2t = 5. Akar atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah pasangan terurut (x, y) atau (s,t) yang memenuhi kedua persamaan yang membentuk sistem tersebut. Sebagai contoh, (2,1) adalah akar atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel (SLPDV) 2x + y = 5 dan x + y = 3, sebab jika x diganti oleh 2 dan y diganti oleh 1, maka masing-masing persamaan itu menjadi kalimat yang benar (2.2 + 1 = 5 dan 2 + 1 = 3). Pasangan bilangan (1,3) bukan akar dari sistem tersebut sebab jika x diganti oleh 1 dan y diganti oleh 3 persamaan 2x + 3 = 5 merupakan kalimat yang benar (2.1 + 3 = 5), tetapi persamaan x + y = 3 merupakan kalimat yang salah ( 1 + 3 3). Demikian juga pasangan terurut (3,0) bukan akar sistem tersebut, sebab walaupun x diganti oleh 3 dan y diganti oleh 0 persamaan x + y = 3 (3 + 0 = 3) merupakan kalimat yang benar, tetapi persamaan 2x + y = 5 merupakan kalimat yang salah (2.3 + 0 5). Persamaan linear dengan dua variabel dapat digunakan sebagai suatu cara menyajikan persoalan sehari-hari secara matematika (model matematika).
Contoh persamaan linear dua variabel:
Harga dua buah buku tulis dan sebuah ballpoint adalah Rp. 6.000, 00, sedangkan harga tiga buah buku tulis dan dua buah ballpoint adalah Rp. 8.500,00.
Dengan memisalkan harga sebuah buku x rupiah dan harga sebuah ballpoint y rupiah, persoalan di atas dapat dituliskan dalam bentuk SPLDV yaitu: 2x + y = 6000 dan 3x + 2y = 8500.
-
Prosedur Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Untuk menentukan akar atau himpunan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yang akan dijelaskan di sini terbatas pada tiga cara, yaitu dengan menggunakan grafik, cara eliminasi, dan cara subsitusi. Kombinasi dari cara eliminasi dan subsitusi, merupakan cara yang sering dipakai.
-
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Menggunakan Grafik
Jika menggunakan grafik, kita memerlukan kertas berpetak, atau kertas grafik, agar diperoleh akar atau himpunan penyelesaian yang cukup akurat. Sebagai contoh, kita akan mencari akar atau himpunan penyelesaian SPLDV berikut : 2x + 3y = 12 dan x – y =1. Seperti telah diuraikan di atas, bahwa akar dari SPLDV koordinat titik yang terletak pada garis 2x + 3y = 12 dan sekaligus terletak pada garis x – y = 1. Dengan kata lain akar dari SPLDV itu adalah koordinat titik potong dari kedua garis tersebut. Dengan demikian, dengan menggambar kedua garis tersebut (bila tidak sejajar/berimpit) akan diperoleh titik potong kedua garis tersebut. Karena kita menggunakan kertas grafik, selanjutnya kita akan dapat mengetahui koordinat titik potong itu.
Karena persamaan 2x + 3y = 12 dan x – y = 1 masing-masing merupakan persamaan garis, maka untuk menggambarnya cukup dengan mencari koordinat dua titik yang terletak pada masing-masing garis tersebut. Untuk menggambar garis 2x + 3y = 12, pertama ambil x = 0, maka diperoleh 2.0 + 3y = 12 atau 3y = 12 atau y =4, jadi titik pertama yang dilalui 2x + 3y = 12 adalah titik (0,4). Selanjutnya dengan mengambil y = 0, diperoleh 2x + 3.0 = 12 atau 2x =12 atau x = 6, diperoleh titik kedua yaitu (6,0). Dengan cara yang sama, diperoleh dua titik yang dilalui garis x – y =1 yaitu (0,-1) dan (1,0). Selanjutnya kita gambarkan kedua garis tersebut pada suatu koordinat kartesius sebagai berikut.
- Titik yang dilalui garis 2x + 3y = 12 adalah titik (0,4) dan (6,0).
- Titik yang dilalui garis x – y = 1 adalah titik (0,-1) dan (1,0)
Dengan menggambar pada kertas berpetak, garis 2x + 3y = 12 dan garis x – y = 1 berpotongan di titik A, dengan melihat skala pada sumbu x maupun sumbu y dapat dilihat bahwa koordinat titik A adalah (3,2). Jadi akar atau himpunan penyelesaian dari SPLDV 2x + 3y = 12 dan x – y = 1 adalah (3,2).
Kelemahan menggunakan grafik ini adalah bila terjadi titik koordinat titik potonganya bukan bilangan bulat, sehingga akar yang diperoleh tidak akurat tetapi hanya aproksimasi saja.
-
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Cara Eliminasi
Eliminasi artinya membuang atau menghilangkan. SPLDV memiliki dua variabel, dengan membuang/menghilangkan atau mengeliminasi satu variabel kita memperoleh persamaan linear dengan satu variabel, yang mencari akarnya telah dipelajari di kelas VII. Persolannya, bagaimana cara mengeliminasi satu variabel tersebut, ikutilah contoh berikut.
Contoh 1
Carilah penyelesaian dari SPLDV 2x + y = 5 dan 3x + 4y = 10.
Jawab:
Perlu diingat kembali bahwa suatu persamaan jika kedua ruasnya dikalikan bilangan yang sama akan diperoleh persamaan yang ekivalen. Sekarang perhatikan SPLDV tersebut.
2x + y =5
3x + 4y = 10
Pertama kita pilih variabel x yang akan dieliminasi. Koefisien x pada masing – masing persamaan harus sama atau lawannya. Di sini koefisien x pada persamaan pertama adalah 2 dan pada persamaan kedua adalah 3. Kelptan Persekutua terKecil (KPK) dari 2 dan 3 adalah 6. Dengan demikian akan diusahakan koefisien x untuk kedua persamaan tersebut adalah 6. Agar koefisien x pada persamaan pertama menjadi 6 haruslah dikalikan 3 untuk kedua ruasnya, sedangkan persamaan kedua untuk menjadi 6 harus dikalikan 2 untuk kedua ruasnya.
Selanjutnya kita akan mengeliminasi variabel y, masing-masing kofiseinnya 1 dan 4, dan KPK-nya adalah 4. Dengan demikian akan diusahakan koefisien y untuk kedua persamaan tersebut adalah 4.. Agar koefisien y pada persamaan pertama menjadi 4 haruslah dikalikan 4 untuk kedua ruasnya, sedangkan persamaan kedua untuk menjadi 4 harus dikalikan 1 untuk kedua ruasnya
Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua diperoleh 5x + 0 = 10 Atau 5x = 10 atau x = 10/5 = 2.
Dengan demikian penyelesaian dari SPLDV di atas adalah pasangan terurut (x, y) yaitu (2,-1).
Karena koefisien pada persamaan pertama dan kedua saling berlawanan, maka supaya variabel y tereliminasi kedua persamaan bukan dikurangkan, tetapi dijumlahkan. Sehingga diperoleh 22m + 0 = 33 atau 22m = 33 atau m = 33/22 = 1 ½. Jadi penyelesaian dari SPLDV di atas adalah pasangan terurut (m,n) yaitu (1 ½ , 1).
-
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Cara Subsitusi
Subsitusi artinya mengganti/menempatkan, cara subsitusi dalam menyelesaikan SPLDV mengganti variabel yang satu dengan variabel lain sesuai dengan persamaan yang diberikan Untuk jelasnya ikuti contoh berikut ini.
Selesaikanlah SPLDV 3x – 2y = 8 dan 4x + y =7.
Penyelesaian.
Persamaan 3x – 2y = 8 kita sebut persamaan pertama dan 4x + y = 7 kita sebut persamaan kedua. Persamaan kedua 4x + y = 7 dapat ditulis sebagai y = 7 –4x. Subsitusi/gantilah y pada persamaan pertama oleh 7 –4x, sehingga diperoleh 3x – 2(7 –4x) = 8 atau 3x –14 + 8x = 8 atau 11x –14 = 8 atau 11x = 8 + 14 atau 11x = 22 atau x = 22/11 = 2.
Setelah diperoleh nilai x = 2, gantilah (subsitusi) nilai x pada persamaan y = 7- 4x dengan 2, diperoleh y = 7 – 4(2) atau y = 7 – 8 = -1. Jadi penyelesaian SPLDV di atas adalah (2, -1).
Sekian pembelajaran dari saya tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Pengenalan Serta Penyelesaiannya. Semoga kalian bisa belajar dari apa yang sudah saya tulis. Terimakasih.
