Rabu, 07 Oktober 2020 13:51

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel - Matematika

Rate this item
(15 votes)
Advertisement
Continue Reading Below

Pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan derajat tertinggi dua. Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dua pada dasarnya sama dengan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.

  1. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Pertidaksamaan kuadrat dua variabel ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f≤0 atau ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f≥0 dapat diselesaikan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Buat kurva ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0

b. Uji titik

Ambil sembarang titik uji P(x_1,y_1) yang terletak di luar kurva ax^2+by^2+cxy+dx+ey+=0 dan hitunglah nilai ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f, kemudian bandingkan nilai ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f dengan 0.

  • Jika ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f≤0, bagian belahan bidang yang memuat titik P(x_1,y_1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f≤0.
  • Jika ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f≥0, bagian belahan bidang yang memuat titik P(x_1,y_1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax_1^2+by_1^2+cx_1 y_1+〖dx〗_1+ey_1+f≥0.

Masalah dan Alternatif Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan y≥x^2+3x-4!

Alternatif Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

  1. Menggambar grafik y=x^2+3x-4

y=x^2+3x-4 mempunyai nilai a=1 sehingga grafik terbuka ke atas.

Menentukan titik potong grafik dengan sumbu X→y=0

x^2+3x-4=0

⇔(x+4)(x-1)=0

⇔x=-4 atau x=1

Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (-4,0) dan (1,0).

Menentukan titik potong grafik dengan sumbu Y→x=0

y=0^2+3(0)-4=-4

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-4).

Menentukan koordinat titik puncak y=x^2+3x-4, a=1,b=3,c=-4

x=(-b)/2a=(-3)/(2(1))=-3/2=-1 1/2

y=(-D)/4a

=-(3^2-4(1)(-4))/(4(1))

=-(9+16)/4=-25/4=-6 1/4

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (-1 1/2,-6 1/4).

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel

  1. Uji titik

Ambil titik uji P(0,0) diperoleh:

0≥0^2+3(0)-4⇔0≥-4

Jadi, daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan y=x^2+3x-4 adalah belahan bidang yang memuat titik P(0,0).

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel

  1. Sistem Pertidaksamaan Linear-Kuadrat

Sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan. Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear-kuadrat adalah:

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 3

dengan (*) adalah tanda pertidaksamaan.

Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear-Kuadrat

Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear-kuadrat berikut!

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 4

Alternatif Penyelesaian

y=-x^2+x+6 merupakan parabola dengan a=-1,b=1, dan c=6. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 5

y=-x+2 merupakan garis lurus yang memotong sumbu X di (2,0) dan memotong sumbu Y di (0,2).

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 6

Grafik himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari grafik-grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan linear-kuadrat dua variabel tersebut.

y≤-x^2+x+6;y≤-x+2

Baca juga:

  1. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Agar lebih mudah memahami tentang sistem pertidaksamaan kuadrat-kuadrat dua variabel, perhatikan masalah berikut!

Masalah dan Alternatif Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Dio akan melemparkan bola dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 8t-t2. Indra akan melempar bola 2 detik setelah Dio dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 10t-t2 (t dalam detik). Pada detik keberapa bola Dio dan bola Indra akan berada pada ketinggian yang sama? Berapa ketinggiannya?

Alternatif Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Untuk menjawab masalah diatas dibuat model matematika terlebih dahulu, misalnya

h1 = Ketinggian bola Dio

h2 = Ketinggian bola Indra

Menentukan pertidaksamaan untuk ketinggian masing-asing bola.

h1 ≤ 8t-t2

Bola indra dilempar 2 detik setelah bola Dio,maka:

h2 ≤ 10(t-2) - (t-2)2↔ h2 ≤ 10t-20 - (t2 – 4t + 4)

h2 ≤ 10t-20 - t2 + 4t – 4

h2 ≤ - t2 + 14t – 24

Ketinggian tidak boleh nol, maka h1 ≥ 0 dan h2 ≥ 0

Sistem pertidaksamaan yang menyatakan ketinggian dari kedua bola pada waktu (t) yang bersamaan adalah:

Dengan h1 ≥ 0 dan h2 ≥ 0

Langkah selanjutnya adalah menggambar grafik h1 = -t2 + 8t, kemudian menggambar grafik

h2 = -t2 + 14t – 24

  1. Menggambar grafik h1 = -t2 + 8t
  1. h1 = -t2 + 8t merupakan parabola yang mempunyai nilai a = -1 ,b = 8 dan c = 0. a = -1 , maka parabola terbuka kebawah.
  2. Titik potong dengan sumbu t.
    h = 0↔-t2 + 8t = 0
    ↔t (-t + 8) = 0
    ↔t = 0 atau t = 8.
    Jadi , titik potong grafik h1 = -t2 + 8 dengan sumu t adalah (0,0) dan (8,0).
  3. sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 7
  4. Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan. Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (1,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan h1 ≤ -t2 + 8t diperoleh 0 < 7. Jadi daerah pertidaksamaan h1 ≤ -t2 + 8t berada dibawah kurva h1 = -t2 + 8t. Karena h1 ≥ 0 , maka diperoleh daerah penyelesaian seperti diatas.
  5. sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 8
  1. Menggambar grafik h2 = -t2 + 14t – 24.
    h2 = -t2 + 14t – 24 merupakan parabola yang mempunyai nilai a = -1 ,b = 14 dan c = -24.
    a = -1, maka parabola terbuka ke bawah.
    Titik potong dengan sumbu t.
    h = 0↔- t2 + 14t – 24 = 0
    ↔ t2 - 14t + 24 = 0
    ↔(t – 2) (t – 12)= 0
    ↔t = 2 atau t = 12.

Jadi, titik potong dengan sumbu t adalah (2,0) dan (12,0).

Koordinat titik puncak (-b/2a,-D/4a) = (7,25)

Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan.

Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (5,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan h2 ≤ -t2 + 14t – 24 diperoleh 0 < 21. Jadi, daerah pertidaksamaan h2 ≤ -t2 + 14t – 24 berada dibawah kurva h2 = -t2 + 14t – 24. Karena h2 ≥ 0, maka diperoleh daerah penyelesaian seperti dibawah.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 9

Langkah selanjutnya adalah menggabungkan kedua kuadrat grafik dalam satu sistem koordinat cartesius seperti gambar dibawah.

Diperoleh daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut yang merupakan irisan dari masing-masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang membentuknya.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 10

Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang terbentuk dari dua atau lebih pertidaksamaan kuadrat dua variabel dengan variabel-variabel yang sama, misalnya:

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 11

Daerah atau grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel merupakan irisan dari masing-masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang membentuknya.

Contoh Soal dan Alternatif Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Gambarlah grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel berikut!

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 12

Alternatif Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Kuadrat

Pertama digambarkan masing-masing grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan tersebut.

y=x^2+x-12 merupakan parabola dengan a=-1,b=1, dan c=-12. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 13

y=x^2+x-12

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 14

y=-x^2+4x+12 merupakan parabola dengan a=-1,b=4, dan c=12. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut.

Grafik himpunan penyelesaiannya merupakan irisan dari grafik-grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel tersebut.

Baca juga:

Advertisement
Continue Reading Below
Advertisement
Continue Reading Below
Advertisement
Continue Reading Below
Read 5582 times Last modified on Rabu, 02 Jun 2021 14:21
Artikel Rekomendasi

MA AL Ahrom Karangsari

Madrasah yang berdiri sejak tahun 2009, terletak di jalan Nangka No. 45 Karangsari, Karangtengah, Demak.

DMCA.com Protection Status

Social Media Madrasah AL AHROM

Social Media Share Kami

facebook icon smallyoutube icon small

Mari Follow dan Ikuti setiap kegiatan MA AL Ahrom Karangsari di social media kami.

  • Bahasa Indonesia
  • English (UK)